Question

16．已知实数x，y满足方程x²+y²-4x+1=0，求下列各式的最大值与最小值．
（1）$\frac{y}{x}$；
（2）$\frac{y-1}{x-4}$；
（3）$\frac{7x}{3y+6}$；
（4）y-x；
（5）2x+3y；
（6）x²+y²；
（7）x²-10x+y²-14y．

Answer 1

分析 （1）求得方程表示的圆的圆心和半径，设$\frac{y}{x}$=k，由题意可得直线y=kx与圆C有交点，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（2）设$\frac{y-1}{x-4}$=k，由题意可得直线y=kx+1-4k与圆C有交点，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（3）设$\frac{7x}{3y+6}$=m，由题意可得直线7x-3my-6m=0与圆C有交点，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（4）设y-x=t，由题意可得直线x-y+t=0与圆C有交点，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（5）设2x+3y=t，由题意可得直线2x+3y-t=0与圆C有交点，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（6）可设x=2+$\sqrt{3}$cosα，y=$\sqrt{3}$sinα（0≤α＜2π），代入原式，运用同角的平方关系和余弦函数的值域，可得最值；
（7）可设x=2+$\sqrt{3}$cosα，y=$\sqrt{3}$sinα（0≤α＜2π），代入原式，运用同角的平方关系和辅助角公式，以及正弦函数的值域，可得最值．

解答 解：（1）x²+y²-4x+1=0即为（x-2）²+y²=3，
表示圆心为C（2，0），半径为r=$\sqrt{3}$的圆，
设$\frac{y}{x}$=k，由题意可得直线y=kx与圆C有交点，
可得$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\sqrt{3}$，解得-$\sqrt{3}$≤k≤$\sqrt{3}$，
即有最小值为-$\sqrt{3}$，最大值为$\sqrt{3}$；
（2）设$\frac{y-1}{x-4}$=k，由题意可得直线y=kx+1-4k与圆C有交点，
可得$\frac{|2k+1-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\sqrt{3}$，解得2-$\sqrt{6}$≤k≤2+$\sqrt{6}$，
即有最小值为2-$\sqrt{6}$，最大值为2+$\sqrt{6}$；
（3）设$\frac{7x}{3y+6}$=m，由题意可得直线7x-3my-6m=0与圆C有交点，
可得$\frac{|14-6m|}{\sqrt{49+9{m}^{2}}}$≤$\sqrt{3}$，解得$\frac{28-7\sqrt{15}}{3}$≤m≤$\frac{28+7\sqrt{15}}{3}$，
即有最小值为$\frac{28-7\sqrt{15}}{3}$，最大值为$\frac{28+7\sqrt{15}}{3}$；
（4）设y-x=t，由题意可得直线x-y+t=0与圆C有交点，
可得$\frac{|2-0+t|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{3}$，解得-2-$\sqrt{6}$≤t≤-2+$\sqrt{6}$，
即有最小值为-2-$\sqrt{6}$，最大值为-2+$\sqrt{6}$；
（5）设2x+3y=t，由题意可得直线2x+3y-t=0与圆C有交点，
可得$\frac{|4+0-t|}{\sqrt{13}}$≤$\sqrt{3}$，解得4-$\sqrt{39}$≤t≤4+$\sqrt{39}$，
即有最小值为-2-$\sqrt{6}$，最大值为-2+$\sqrt{6}$；
（6）可设x=2+$\sqrt{3}$cosα，y=$\sqrt{3}$sinα（0≤α＜2π），
即有x²+y²=（2+$\sqrt{3}$cosα）²+（$\sqrt{3}$sinα）²=4+3（cos²α+sin²α）+4$\sqrt{3}$cosα
=7+4$\sqrt{3}$cosα，当cosα=1即α=0时，取得最大值7+4$\sqrt{3}$；
当cosα=-1即α=π时，取得最大值7-4$\sqrt{3}$；
（7）可设x=2+$\sqrt{3}$cosα，y=$\sqrt{3}$sinα（0≤α＜2π），
即有x²+y²-10x-14y=（2+$\sqrt{3}$cosα）²+（$\sqrt{3}$sinα）²-10（2+$\sqrt{3}$cosα）-14$\sqrt{3}$sinα
=-16+3（cos²α+sin²α）-6$\sqrt{3}$cosα-14$\sqrt{3}$sinα
=-13-2$\sqrt{174}$（$\frac{3}{\sqrt{58}}$cosα+$\frac{7}{\sqrt{58}}$sinα）=-13-2$\sqrt{174}$sin（α+θ），（θ为辅助角），
当sin（α+θ）=1时，取得最小值-13-2$\sqrt{174}$；
当sin（α+θ）=-1时，取得最大值-13+2$\sqrt{174}$．

点评 本题考查圆的方程的运用，注意运用直线和圆的位置关系，同时考查圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．