Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为

2 5

5

，该椭圆的离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点P(0，

5

3

)的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，且使

QM

=4

QN

-3

QP

成立（Q为直线l外的一点）？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为bx+ay-ab=0（a＞b＞0），利用原点O到直线AB的距离为

2 5

5

，椭圆的离心率为

3

2

，建立方程，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）根据

QM

=4

QN

-3

QP

，可得

PM

=

PN

，再分类讨论：当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），符合条件，此时直线方程x=0；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+

5

3

，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量条件，即可确定不存在．

解答：解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为bx+ay-ab=0（a＞b＞0）
∵原点O到直线AB的距离为

2 5

5

，该椭圆的离心率为

3

2

．
∴

|ab|

a2+b2

=

2 5

5

，

a2-b2

a

=

3

2

∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）∵

QM

=4

QN

-3

QP

，∴

NM

=3

PN

①
当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），符合条件，此时直线方程x=0；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+

5

3

，代入椭圆方程，消元可得
（9+36k²）x²+120kx+64=0
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0，可得k2＞

4

9

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

120k

9+36k2

②，x₁x₂=

64

9+36k2

③，
由①得x₁=4x₂④，
由②③④消去x₁，x₂，可得

16

9+36k2

=

(24k)2

(9+36k2)2

∴9=0，矛盾
综上，存在符合条件的直线l：x=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理解题．