Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ+=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，那么（3x-

1

x

）ⁿ的展开式中的常数项为

 

（用数字作答）．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：先把x=1代入（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再结合a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，求出n．求出（3x-

1

x

）ⁿ的展开式中的通项，令x的指数为0求出r，再代入通项公式即可求出（3x-

1

x

）ⁿ的展开式中的常数项．

解答： 解：因为（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1得：2+2²+2³+…+2ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
∵a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，
∴2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=126
即2ⁿ⁺¹=128=2⁷．
解得n=6．
所以（3x-

1

x

）⁶的展开式中的通项为：（-1）^r3^6-r•C₆^r•x^6-2r．
令6-2r=0，得r=3．
所以（3x-

1

x

）ⁿ的展开式中的常数项为：（-1）³•3³•C₆³=-540．
故答案为：-540．

点评：本题主要考查二项式定理的应用以及数列求和公式的应用．解决本题的关键在于把x=1代入（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再结合a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，求出n．这也是本题向下做的前提．