Question

已知函数f（x）=

1

x+3

+x，（x＞-3）
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≥t²+t-1恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）

1

x+3

+x=

1

x+3

+x+3-3，利用基本不等式可求得f（x）的最小值；
（2）f（x）≥t²+t-1恒成立，等价于f（x）_min≥t²+t-1，由（1）知f（x）_min=-1，解出二次不等式可得答案；

解答：解：（1）∵x＞-3，∴x+3＞0，
∴f(x)=

1

x+3

+x=

1

x+3

+(x+3)-3

≥2 1 (x+3) •(x+3) -3 =2-3 =-1

当且仅当

1

x+3

=x+3即x=-2时，取等号，
此时f（x）的最小值为-1．
（2）依题意要使f（x）≥t²+t-1恒成立，等价于f（x）_min≥t²+t-1，
由（1）知f（x）_min=-1，
∴-1≥t²+t-1，即t²+t≤0，解得-1≤t≤0，
∴实数t的取值范围是：{t|-1≤t≤0}．

点评：本题考查基本不等式在求函数最值中的应用，属中档题，利用基本不等式求函数的最值要注意使用条件：一正、二定、三相等．