Question

3．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6．
（1）求实数a，b应满足的关系式；
（2）当a，b为何值时，t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{{b}^{2}}{3}$取得最小值，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案；
（2）把（1）中a，b的关系式代入t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{{b}^{2}}{3}$，化为关于a的一元二次函数，利用二次函数的性质求得答案．

解答 解：（1）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

由图可知，当直线z=ax+by过A时，目标函数取最大值6，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（3，4），即3a+4b=6；
（2）将3a+4b=6代入t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{{b}^{2}}{3}$，得16t=11a²-12a+12（a＞0），
由一元二次函数的性质可知，当a=$\frac{12}{11}$时，16t的最小值为$\frac{4×11×12-1{2}^{2}}{4×11}=\frac{96}{11}$，
此时，b=$\frac{6-3a}{4}=\frac{30}{11}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．