Question

8．（1）在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，求数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由“裂项”求得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用累加法，即可求得a_n=$\frac{2n-1}{n}$，验证当n=1时，即可求得数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n+1-a_n=2ⁿ，采用累加法，根据等比数列前n项和公式即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）由题意可知：
当a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
a₂-a₁=1-$\frac{1}{2}$，
a₃-a₂=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
a₄-a₃=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴a_n-a₁=1-$\frac{1}{n}$，
∴a_n=2-$\frac{1}{n}$，
=$\frac{2n-1}{n}$，
当n=1时成立，
∴a_n=$\frac{2n-1}{n}$，
（2）由a_n+1-a_n=2ⁿ，
a₂-a₁=2，
a₃-a₂=4，
a₄-a₃=8，
…
a_n-a_n-1=2^n-1，
累加得：a_n-a₁=2+4+8+…+2^n-1=$\frac{2-{2}^{n}}{1-2}$，
a_n=2ⁿ-1，
当n=1时成立，
∴a_n=2ⁿ-1，

点评 本题考查求数列的通项公式，利用“裂项法”，“累加法”求得数列的通项公式，考查等比数列前n项和公式，属于中档题．