Question

8．已知θ是第一象限角，若$sinθ-2cosθ=-\frac{2}{5}$，则sinθ+cosθ=$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 由已知等式移项，平方，整理可得5cos²θ-$\frac{8}{5}$cosθ-$\frac{21}{25}$=0，结合θ为第一象限的角，即可求cosθ的值，由同角三角函数基本关系式即可求sinθ的值，即可得解sinθ+cosθ的值．

解答 解：∵sinθ-2cosθ=-$\frac{2}{5}$，则（2cosθ-$\frac{2}{5}$）²+cos²θ=1，
∴5cos²θ-$\frac{8}{5}$cosθ-$\frac{21}{25}$=0，即（cosθ-$\frac{3}{5}$）（5cosθ+$\frac{7}{5}$）=0，
又∵θ为第一象限的角，
∴cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，从而sinθ+cosθ=$\frac{7}{5}$．
故答案为：$\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．