Question

长度为6的动弦AB在抛物线y²=4x上滑动，AB中点到y轴距离的最小值为2，则直线AB的斜率为（　　）

• A、±1
• B、±

  3

• C、±

  2

• D、±2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线定义，知弦AB的中点M到Y轴的距离最短时弦AB过焦点，由此设出直线AB的方程，用代数法结合椭圆的弦长公式能求出结果．

解答： 解：∵长度为6的动弦AB在抛物线y²=4x上滑动，AB中点到y轴距离的最小值为2，
∴AB过抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
设AB的方程为y=k（x-1），并代入抛物线y²=4x，
得k²（x-1）²=4x，
整理，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
∵|AB|=6，
∴6=

(1+k2)[(2+ 4 k2 )-4]

，
整理，得5k⁴-8k²-4=0，
解得k²=2，或k²=-

2

5

（舍）
∴k=±

2

．
故选：C．

点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线性质，注意弦长公式的合理运用．