Question

6．已知（$\frac{1}{x-1}$+b）lnx≥1对x＞0且x≠1恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 讨论x＞1，lnx＞0，运用参数分离，再令f（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{2}$（x＞1），连续求出三次导数，即可判断单调性，进而得到f（x）＜0在x＞1恒成立．可得b≥$\frac{1}{2}$；讨论0＜x＜1，同理可得f（x）＞0在0＜x＜1恒成立．可得b≤$\frac{1}{2}$，进而得到b的范围．

解答 解：当x＞1时，lnx＞0，即有b≥$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$，
令f（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2（x-1）-（x+1）lnx}{2（x-1）lnx}$（x＞1），
令g（x）=2（x-1）-（x+1）lnx（x＞1），
g′（x）=2-lnx-$\frac{x+1}{x}$=1-lnx-$\frac{1}{x}$，
再令h（x）=1-lnx-$\frac{1}{x}$，（x＞1），
h′（x）=-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$＜0，
即有h（x）在x＞1递减，即h（x）＜h（1）=0，
即有g′（x）＜0，即g（x）在x＞1递减，
即有g（x）＜g（1）=0，
即有f（x）＜0在x＞1恒成立．
则$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$在x＞1恒成立．
则有b≥$\frac{1}{2}$；
同理可得，当0＜x＜1时，f（x）＞0恒成立，
即有$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$＞$\frac{1}{2}$在0＜x＜1恒成立．
当0＜x＜1时，lnx＜0，即有b≤$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$，
则有b≤$\frac{1}{2}$．
综上可得b=$\frac{1}{2}$．
即有b的取值范围为{$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查不等式恒成立问题，注意参数分离和分类讨论的思想方法，同时考查导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．