Question

18．已知在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，他们的终边分别与单位圆交于A，B，A，B的横坐标分别为$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则α+2β的值为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用任意角的三角函数的定义求得cosα、cosβ 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得 sinα、sinβ 的值，再利用二倍角公式求得sin2β、cos2β 的值，可得α+2β∈（0，π）．利用两角和的余弦公式求得cos（α+2β）的值，可得α+2β的值．

解答 解：由题意可得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=$\frac{4}{5}$，cos2β=2cos²β-1=$\frac{3}{5}$，∴2β仍为锐角，α+2β∈（0，π）．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=$\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{3}{5}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{4}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+2β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的余弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．