Question

8．已知函数f（x）=4^x+a•4^-x是偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明：对任意实数x₁和x₂都有$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）

Answer 1

分析 （1）根据函数是偶函数，建立方程关系即可求a的值；
（2）根据基本不等式结合指数幂的运算法则即可证明：对任意实数x₁和x₂都有$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）

解答 解：（1）∵f（x）=4^x+a•4^-x是偶函数．
∴f（-x）=f（x），
即4^-x+a•4^x=4^x+a•4^-x，
即a=1；
（2）∵a=1，
∴f（x）=4^x+4^-x，
∴$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$（${4}^{{x}_{1}}+{4}^{-{x}_{1}}$+4${\;}^{{x}_{2}}$+4${\;}^{-{x}_{2}}$ ）
=$\frac{1}{2}$（${4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}}$）+$\frac{1}{2}$（${4}^{-{x}_{1}}+{4}^{-{x}_{2}}$）
≥$\frac{1}{2}×2\sqrt{{4}^{{x}_{1}}•{4}^{{x}_{2}}}+\frac{1}{2}×2\sqrt{{4}^{-{x}_{1}}•{4}^{-{x}_{2}}}$
=$\sqrt{{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$+$\sqrt{{4}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}}$=${4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$$+{4}^{-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及指数幂的化简和证明，考查学生的运算推理能力．