Question

16．已知集合A={x|x²-2ax+a²-4=0}，B={x|x²+5=6x}，C={x|x²+2x=3}．
（1）若A∪B≠B，求实数a的取值范围；
（2）试确定实数a的值，使A∩B≠∅与A∩C=∅同时成立．

Answer 1

分析 （1）若A∪B≠B，在先求A∪B=B成立时的结论，即可求实数a的取值范围；
（2）分别讨论a的取值．验证条件A∩B≠∅与A∩C=∅同时成立．

解答 解：（1）B={x|x²+5=6x}={x|x²-6x+5=0}={1，5}，C={x|x²+2x=3}={x|x²+2x-3=0}={1，-3}．
若A∪B=B，则A⊆B，
A={x|x²-2ax+a²-4=0}={a-2，a+2}，
则a-2=1且a+2=5，解得a=3，
若A∪B≠B，则a≠3，
即实数a的取值范围是a≠3；
（2）若A∩B≠∅，
则a-2=1，即a=3，此时A={1，5}，A∩C={1}，与A∩C=∅矛盾，此时不成立．
若a-2=5，即a=7，此时A={9，5}，A∩C=∅成立，
若a+2=1，即a=-1，此时A={-3，1}，A∩C={1，-3}，与A∩C=∅矛盾，此时不成立．
若a+2=5，即a=3，此时不成立．
综上a=7．

点评 本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．