Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE，F为PC上一点，且CF=2FP． 
（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABF与三棱锥F-EBC的体积之比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ） 连接AC交BE于点M，运用平行线分线段成比例的逆定理，证得FM∥AP，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）运用棱锥的体积公式和等积法，结合线面垂直的性质和判定，以及平行线分线段成比例的性质，即可求出点到平面的距离，再由体积公式，即可得到．

解答： （Ⅰ） 证明：连接AC交BE于点M，
连接FM．∵EM∥CD，
∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

=

PF

FC

，
∴FM∥AP，
∵FM?面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF；
（Ⅱ）设BC=2a，BE=b，PF=c，PE=d，
则由于CF=2FP，则F到平面BCDE的距离为

2

3

d，
则三棱锥F-EBC的体积为

1

3

×

2

3

d×

1

2

×2ab=

2

9

abd，
三棱锥P-ABF的体积即为三棱锥A-PBF的体积，
过E作EN⊥PB，垂足为N，由于PE⊥平面ABCD，则PE⊥BC，又BC⊥BE，
则有BC⊥平面PBE，即有BC⊥EN，
则EN⊥平面PBC，且EN=

bd

9c2-4a2

，
由于ED=2AE，则A到平面PBF的距离为

3

2

EN=

3

2

bd

9c2-4a2

，
则三棱锥A-PBF的体积为

1

3

×

1

2

×2a×

9c2-4a2

×

3

2

bd

9c2-4a2

=

1

2

abd，
则三棱锥P-ABF与三棱锥F-EBC的体积之比为9：4．

点评：本题考查线面平行和垂直的判定和性质定理及运用，考查三棱锥的体积公式和运用，注意等积法的运用，属于中档题．