Question

已知x∈R，用符号[x]表示不超过x的最大整数．若函数f（x）=

[x]

x

-a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=0得

[x]

x

=a，令g（x）=

[x]

x

，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．

解答： 解：由f（x）=

[x]

x

-a=0得

[x]

x

=a，
①若x＞0，设g（x）=

[x]

x

，
则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，
当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=

1

x

，此时

1

2

＜g(x)≤1，
当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=

2

x

，此时

2

3

＜g（x）≤1，
当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=

3

x

，此时

3

4

＜g（x）≤1，
当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=

4

x

，此时

4

5

＜g（x）≤1，
作出函数g（x）的图象，
要使f（x）=

[x]

x

-a有且仅有三个零点，
即函数g（x）=a有且仅有三个零点，
则由图象可知

3

4

＜a≤

4

5

，
②若x＜0，设g（x）=

[x]

x

，
则当-1≤x＜0，[x]=-1，此时g（x）=-

1

x

，此时g（x）≥1，
当-2≤x＜-1，[x]=-2，此时g（x）=-

2

x

，此时1≤g（x）＜2，
当-3≤x＜-2，[x]=-3，此时g（x）=-

3

x

，此时1≤g（x）＜

3

2

，
当-4≤x＜-3，[x]=-4，此时g（x）=-

4

x

，此时1≤g（x）＜

4

3

，
当-5≤x＜-4，[x]=-5，此时g（x）=-

5

x

，此时1≤g（x）＜

5

4

，
作出函数g（x）的图象，
要使f（x）=

[x]

x

-a有且仅有三个零点，
即函数g（x）=a有且仅有三个零点，
则由图象可知

4

3

≤x＜

3

2

，
综上：

3

4

＜a≤

4

5

或，

4

3

≤x＜

3

2

，
故答案为：（

3

4

，

4

5

]∪[

4

3

，

3

2

）．

点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．