Question

已知函数f（x）=alnx，g（x）=x²．其中x∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）-1对任意x＞0恒成立，求实数a的值；
（Ⅲ）当a＜0时，对于函数h（x）=f（x）-g（x）+1，记在h（x）图象上任取两点A、B连线的斜率为k_AB，若|k_AB|≥1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平行直线间的距离；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a的值；
（Ⅲ）|h（x₁）-h（x₂）|≥|x₁-x₂|等价于h（x₁）-h（x₂）≥x₂-x₁，即h（x₁）+x₁≥h（x₂）+x₂，构造H（x）=h（x）+x=alnx-x²+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，可得-2x²+x+a≤0在x＞0时恒成立，分离参数，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x

，g′(x)=2x，依题意得：a=2； …（2分）
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线为2x-y-2=0，曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为2x-y-1=0．…（3分）
∴两直线间的距离为

|-2+1|

5

=

5

5

…（4分）
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）+1，则h′(x)=

a

x

-2x=

a-2x2

x

当a≤0时，注意到x＞0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，…（5分）
又h（1）=0，故0＜x＜1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）-1，与题设矛盾．…（6分）
当a＞0时，h′(x)=

2

x

(

a 2

+x)(

a 2

-x)(x＞0)
当0＜x＜

a 2

，h′（x）＞0，当x＞

a 2

时，h′（x）＜0
∴h（x）在（0，

a 2

）上是增函数，在（

a 2

，+∞）上是减函数，…（8分）
∴h（x）≤f(

a 2

)=

a

2

ln

a

2

-

a

2

+1
∵h（1）=0，又当a≠2时，h(

a 2

)＞h(1)=0与h(

a 2

)≤0不符．
∴a=2．…（9分）
（Ⅲ）当a＜0时，由（2）知h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，
不妨设0＜x₁≤x₂，则|h（x₁）-h（x₂）|=h（x₁）-h（x₂），|x₁-x₂|=x₂-x₁，…（10分）
∴|h（x₁）-h（x₂）|≥|x₁-x₂|等价于h（x₁）-h（x₂）≥x₂-x₁，即h（x₁）+x₁≥h（x₂）+x₂，…（11分）
令H（x）=h（x）+x=alnx-x²+x+1，H（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵H′(x)=

a

x

-2x+1=

-2x2+x+a

x

（x＞0），…（12分）
∴-2x²+x+a≤0在x＞0时恒成立，
∴a≤（2x²-x）_min …（13分）
又x＞0时，（2x²-x）_min=-

1

8

∴a≤-

1

8

，
又a＜0，∴a的取值范围是(-∞，-

1

8

]．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．