Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AD=AB=

2

，AB⊥BC，如图把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）通过勾股定理证明CD⊥BD．然后通过平面与平面垂直的性质定理证明CD⊥平面ABD．
（Ⅱ）通过点M为线段BC中点，点M到平面ACD的距离就是B到平面ACD的距离的一半，说明BA就是B到平面ACD的距离，求出结果即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：因为AD∥BC，BC=2AD，AD=AB=

2

，AB⊥BC，
所以BD=

AB2+AD2

=2，∠DBC=∠ADB=45°，
CD=

22+(2 2 )2-2×2×2 2 cos45°

=2，
BD²+CD²=BC²，所以CD⊥BD．
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以CD⊥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）解：点M为线段BC中点，点M到平面ACD的距离就是B到平面ACD的距离的一半，
由（Ⅰ）可知：CD⊥平面ABD，
∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD=C，可得AB⊥平面ACD，
BA就是B到平面ACD的距离，
∵AB=

2

，∴点M到平面ACD的距离为：

2

2

．
得点M到平面ACD的距离为

2

2

．               …（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判断，点到平面的距离的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．