Question

4．已知函数f（x）=2-x²-log₂x，正实数a、b、c满足f（a）＜f（b）＜0＜f（c），若实数m是方程f（x）=0的一个根，那么下列四个结论：①m＞a；②m＜b；③m＞c；④$m＞\frac{1}{2}（a+b）$．其中成立的是②③．

Answer 1

分析 先求函数f（x）的定义域，再判断f（x）=2-x²-log₂x在（0，+∞）上是减函数；从而可得a＞b＞m＞c；从而解得．

解答 解：∵f（x）=2-x²-log₂x的定义域为（0，+∞），
又∵y=2-x²在（0，+∞）上是减函数，
y=-log₂x在（0，+∞）上是减函数，
∴f（x）=2-x²-log₂x在（0，+∞）上是减函数；
又∵实数m是方程f（x）=0的一个根，
∴f（m）=0，
∴f（a）＜f（b）＜f（m）＜f（c），
∴a＞b＞m＞c；
∴m＜a，m＜b，m＞c，m＜$\frac{1}{2}$（a+b）；
故答案为：②③．

点评 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了方程的根与函数零点的关系应用，属于中档题．