Question

18．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，BC∥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，M，N分别是SB，SC的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）设平面SCD与平面SAB所成二面角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出四边形ADNM是平行四边形，从而AM∥ND，由此能证明AM∥平面SCD．
（Ⅱ）以点A为原点，AD，AB，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵M，N分别是SB，SC的中点，
∴MN∥BC，且MN=$\frac{1}{2}BC$，
又∵AD∥BC，且AD=$\frac{1}{2}$BC，∴MN∥AD，且MN=AD，
∴四边形ADNM是平行四边形，∴AM∥ND，
又∵AM?平面SCD，ND?平面SCD，
∴AM∥平面SCD．
解：（Ⅱ）以点A为原点，AD，AB，AS所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），
∴$\overrightarrow{SD}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-1，-2，0），
设平面SCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}=x-2z=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}=-x-2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
平面SAB的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}×1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
又平面SCD与平面SAB所成二面角θ为锐角，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．