Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，C的焦点到其渐近线的距离是$\sqrt{3}$，则双曲线C的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，可得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由C的焦点（c，0）到其渐近线bx+ay=0的距离是$\sqrt{3}$，
可得$\frac{|bc+0|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b=$\sqrt{3}$，
由e=$\frac{c}{a}$=2，又c²=a²+b²，
解得a=1，c=2，
则双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的性质：渐近线和离心率，考查化简整理的运算能力，属于基础题．