Question

如图，在正方形ABCD中，E．F分别是CD．DA的中点，BE交CF于点O，若

AO

=λ

BE

+μ

CF

，则

λ

μ

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：可以选正方形边上的向量来表示向量

AO

：

AO

=(

1

2

+

k

2

)

AD

+k

DC

，

AO

=t

AD

+(1-

t

2

)

DC

，所以根据平面向量基本定理即可得到

1 2 + k 2 =t k=1- t 2

，所以解出t=

4

5

，这样即可用

AD

，

DC

表示

AO

=

4

5

AD

+

3

5

DC

，而

AO

=(λ-

μ

2

)

AD

-(

λ

2

+μ)

DC

，所以得到

λ- μ 2 = 4 5 -( λ 2 +μ)= 3 5

，解出λ，μ即可得到

λ

μ

．

解答： 解：

AO

=

AF

+

FO

；
F，O，C三点共线，存在实数k使

FO

=k

FC

=k(

1

2

AD

+

DC

)；
∴

AO

=

1

2

AD

+k(

1

2

AD

+

DC

)=(

1

2

+

k

2

)

AD

+k

DC

；
同理，

AO

=

AB

+

BO

=t

AD

+(1-

t

2

)

DC

，t∈R；
∴

1 2 + k 2 =t k=1- t 2

，解得t=

4

5

；
∴

AO

=

4

5

AD

+

3

5

DC

；
又

AO

=λ

BE

+μ

CF

=(λ-

μ

2

)

AD

-(

λ

2

+μ)

DC

；
∴

λ- μ 2 = 4 5 -( λ 2 +μ)= 3 5

，解得

λ= 2 5 μ=- 4 5

；
∴

λ

μ

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：考查向量的加法运算，以及共线向量基本定理，相等向量，相反向量，平面向量基本定理．