Question

4．已知函数f（x）=-x²+2ax-a．
（1）若g（x）=f（x）+3x是偶函数，求a的值；
（2）若函数f（x）≤2在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的图象关于y轴对称，建立方程，即可求a的值；
（2）确定函数的对称轴，分类讨论，求出函数f（x）的最大值，利用函数f（x）≤2在[1，+∞）上恒成立，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）g（x）=-x²+（2a+3）x-a，
∵g（x）=f（x）+3x是偶函数，
∴2a+3=0，
∴a=-$\frac{3}{2}$；
（2）∵f（x）=-x²+2ax-a=-（x-a）²-a+a²，
∴函数f（x）的对称轴是x=a，
①a≤1时，f（x）_max=f（1）=a-1，
∴只需a-1≤2即可，
∴a≤1，
②a＞1时，f（x）_max=f（a）=-a+a²，
∴只需-a+a²≤2即可，
∴1＜a≤2，
综上，a≤2．

点评 本题考查函数的性质，考查恒成立问题，正确分类求最值是关键．