Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n=kn²+bn（k≠0），a₁，a₃，a₄成等比数列，则满足18a_n=7S_n的n值为12．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和S_n=kn²+bn（k≠0），可得a₁=S₁=k+b，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2kn-k+b．利用a₁，a₃，a₄成等比数列，可得${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，代入化为：9k+b=0．根据18a_n=7S_n，代入解出即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=kn²+bn（k≠0），∴a₁=S₁=k+b，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=kn²+bn-[k（n-1）²+b（n-1）]=2kn-k+b．
∵a₁，a₃，a₄成等比数列，
∴${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，∴（5k+b）²=（k+b）（7k+b），化为：9k+b=0．
∵18a_n=7S_n，∴18（2kn-k+b）=7（kn²+bn），
把b=-9k代入可得：7n²-99n+180=0，
解得n=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了数列通项公式及其前n项和公式的关系、递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．