Question

14．实数a，b，c，d满足$\frac{{a}^{2}-2lna}{b}$=1，c-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{3}$d，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{5}$ln2
• C． $\frac{2}{5}$（1-ln2）²
• D． $\frac{（9-2ln3）^{2}}{10}$

Answer 1

分析 由题意可知点P（a，b）是曲线f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，由导数的几何意义可知，过曲线y=x²-2lnx上的点P（a，b）且与线y=3x-4平行时，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}-2lna}{b}$=1，c-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{3}$d，
∴点P（a，b）是曲线f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，$\frac{2（1-ln2）}{\sqrt{10}}$
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，当且仅当过曲线y=x²-2lnx上的点P（a，b）且与y=3x-4平行时．
∵f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴当x=1时，f（x）取得极小值．
由2x-$\frac{2}{x}$=3，可得x=2（负值舍去）
∴点P（2，4-2ln2）到直线y=3x-4的距离为d=$\frac{|6-4+2ln2-4|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2（1-ln2）}{\sqrt{10}}$，则d²=$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
∵|PQ|²≥d²=$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值为$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
故选：C．

点评 本题考查函数最值的应用，分析得到点P（a，b）是曲线y=x²-2lnx上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题．