Question

2．已知△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，且$cosA+cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求角C；
（2）若a=2，求三角形ABC内切圆的半径R．

Answer 1

分析 （1）由题意结合等差数列和三角形的知识可得B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，再由$cosA+cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$及和差角的三角函数公式变形易得C=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）可得A=$\frac{π}{6}$，由正弦定理可得b值，再由勾股定理可得c值，由等面积可得R的方程，解方程可得．

解答 解：（1）∵△ABC中，角A，B，C依次成公差大于零的等差数列，
∴2B=A+C，由A+B+C=π可得B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，
又∵$cosA+cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴cos（$\frac{2π}{3}$-C）+cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由和差角的三角函数公式可得sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，解得C=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）可得B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{2}$，故A=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
由勾股定理可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4，
由等面积可得$\frac{1}{2}$（2+4+2$\sqrt{3}$）R=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$，
解方程可得R=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式和等积法，属中档题．