Question

（本题满分16分）已知数列中,, 为实常数）,前项和恒为正值，且当时,.
⑴求证:数列是等比数列；
⑵设与的等差中项为,比较与的大小；
⑶设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列：
当时，；
当时，.
求数列的前项和.

Answer 1

（本题满分16分）
解:⑴当时, ,
化简得,                         .………………………2分
又由,得, 解得,
∴，也满足,         .………………………4分
而恒为正值, ∴数列是等比数列.                .………………………5分
⑵的首项为1，公比为，.当时,,
∴.
当时,,
此时                                         . .……………………7分                
当时,
.
∵恒为正值∴且,
若,则,   若,则.    .……………………10分
综上可得,当时, ；
当时，若，则，  若,则 .……………………11分
⑶∵ ∴ ,当时, .
若,则由题设得

 ..……………………13分若,则
.
综上得.           .………………………16分

略