Question

9．已知数列{a_n}满a_n•a_n+1=3ⁿn=1，2，3…，且a₁=1．
（1）求证：当n≥2时，总有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3；
（2）数列{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}{a}_{n}，}&{n为奇数}\\{\frac{2}{{a}_{n}}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，b_n=求{b_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n•a_n+1=3ⁿ与a_n-1•a_n=3^n-1作商、整理即得结论；
（2）通过（1）可知数列{a_n}的奇数项、偶数项分别构成公比为3的等比数列，进而可知b_2n-1=n-1、b_2n=$\frac{2}{{3}^{n}}$，利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足a_n•a_n+1=3ⁿ，
∴当n≥2时，a_n-1•a_n=3^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n-1}}$=3，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3（n≥2）；
（2）解：∵a₁=1，∴a₂=$\frac{3}{{a}_{1}}$=3，
由（1）知数列{a_n}的奇数项、偶数项分别构成公比q=3的等比数列，
∴a_2n-1=${a}_{1}{q}^{n-1}$=3^n-1，a_2n=${a}_{2}{q}^{n-1}$=3ⁿ，
∴b_2n-1=log₃a_2n-1=n-1，b_2n=$\frac{2}{{a}_{2n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴S_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=[0+1+…+（n-1）]+2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）
=$\frac{（n-1）n}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{n（n-1）}{2}$+1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．