Question

在数列{a_n}中，a₁=

1

3

，a_n+1=

n+1

3n

an
（Ⅰ）证明{

an

n

}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

n+1

3n

an，得

an+1

n+1

=

1

3

×

an

n

，从而可判断{

an

n

}是等比数列，由等比数列通项公式可得

an

n

，进而可得a_n；
（Ⅱ）利用错位相减法可求得S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=

1

3

，a_n+1=

n+1

3n

an，
∴a_n＞0，
∴

an+1

n+1

=

1

3

×

an

n

，又

a1

1

=

1

3

，
∴{

an

n

}为首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴

an

n

=

1

3

×(

1

3

)n-1，∴an=

n

3n

；
（Ⅱ） S_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

…①，
∴

1

3

Sn=

1

32

+

2

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

…②，
①-②得：

2

3

Sn=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

，
∴Sn=

3

4

(1-

1

3n

)-

n

2×3n

，
∴Sn=

3n+1-3-2n

4×3n

．

点评：本题考查等比数列的定义、通项公式及数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．