Question

在正项等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），a₃+a₅=5且a₃和a₅的等比中项是2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

1

n

(log2a1+log2a2+…+log2an)，判断数列{b_n}的前n项和S_n是否存在最大值，若存在，求出使S_n最大时n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得a₃•a₅=4，a₃+a₅=5，可解得 a₃=4，a₅=1．进而可求q，a₁，由等比数列的通项公式可得a_n；
（2）由（1）可得log₂a_n=5-n，进而可得b_n，易判断数列{b_n}的项的符号变化规律，由各项符号可得结论；

解答： 解：（1）依题意：a₃•a₅=4，
又a₃+a₅=5，且公比q∈（0，1），
解得 a₃=4，a₅=1．
∴q2=

a5

a3

=

1

4

 ， 即q=

1

2

，
∴a1=

a3

q2

=16，
∴an=a1•qn-1=16•(

1

2

)n-1=25-n．                         
（2）∵log₂a_n=5-n，
∴bn=

1

n

(4+3+…+(5-n))=

(4+5-n)n 2

n

=

9-n

2

，
∵当n＜9时，b_n＞0，当n=9时，b_n=0，当n＞9时，b_n＜0，
∴S₁＜S₂＜…＜S₈=S₉＞S₁₀＞S₁₁＞…．
∴S_n有最大值，此时n=8或n=9．

点评：本题考等差数列的通项公式、等比中项及数列求和，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．