Question

已知A，B，C为椭圆W：x²+2y²=2上的三个点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；
（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据直线和椭圆的位置关系即可求出AC的长；
（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用根与系数之间的关系即可求出三角形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由

x2+2y2=2 y=x+1

，
得3x²+4x=0，
解得x=0或x=-

4

3

，
∴A，C两点的坐标为（0，1）和(-

4

3

，-

1

3

)，
∴|AC|=

4

3

2

．
（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则B(

2

，0)，
∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上，
∴P(

2

3

，0)，求得|AC|=

4

3

2

，
∴△OAC的面积等于

1

2

×

4 2

3

×

2

3

=

4

9

．
②若B不是椭圆的左、右顶点，
设AC：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+2y2=2

得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
则x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
∴AC的中点P的坐标为(-

2km

2k2+1

，

m

2k2+1

)，
∴B(-

6km

2k2+1

，

3m

2k2+1

)，代入椭圆方程，化简得2k²+1=9m²．
计算|AC|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2 1+k2 2k2+1-m2

2k2+1

=

8 1+k2

9|m|

．
∵点O到AC的距离d_O-AC=

|m|

1+k2

．
∴△OAC的面积S△OAC=

1

2

|AC|•dO-AC=

1

2

×

8 1+k2

9|m|

•

|m|

1+k2

=

4

9

．
综上，△OAC面积为常数

4

9

．

点评：本题主要考查直线和椭圆的位置的关系的应用，综合性较强，难度较大．