Question

【题目】如图：在三棱锥中，平面平面ABC，，，且，．

（1）若点D为BP上的一动点，求证：；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）在中，易得，再由平面平面ABC，，利用面面垂直的性质定理得到平面APC，从而有，然后由线面垂直的判定定理证明.

（2）根据平面平面ABC，在平面PAC中过A点作AC的垂线l，则l垂直平面ABC，以l为轴，AB，AC为x，y轴建立空间直角坐标系，分别求得平面EAB的一个法向量和平面EBC一个法向量，代入公式求解.

（1）在中由正弦定理，

得，即，

∵平面平面ABC，交线为AC，，

故平面APC，则，又，

∴平面ABP，而平面ABP，

所以．

（2）∵平面平面ABC，在平面PAC中过A点作AC的垂线l，

则l垂直平面ABC，

以l为轴，AB，AC为x，y轴建立空间直角坐标系．

由知，E为PC的三等分点，

易得，，，，，

设平面EAB的一个法向量为，

由得，

令，则，，

设平面EBC一个法向量为，

由，得，

令，则，，．

则，

设二面角的平面角为，则．