Question

13．设f（x）=lnx-a$\frac{2（x-1）}{1+{x}^{2}}（a≠0）$
（1）若a=1时，证明x∈[1，+∞）时，f（x）恒为增函数；
（2）若0＜x₁＜x₂时，证明：lnx₂-lnx₁＞$\frac{2{x}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$；
（3）证明：ln（n+1）＞$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{4}^{2}}+…+\frac{n}{（n+1）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）直接对f（x）求导，化简即可．又因为x＞1，可得f'（x）＞0；
（2）利用换元t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，构造g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}+1}$＞g（1）=0，从而化简得证；
（3）由（1）得t＞1时，lnt＞$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}+1}$，得出：$ln\frac{n+1}{n}$＞$\frac{n}{（n+1）^{2}}$，从而利用累加法可得证；

解答 证明：（1）当a=1时，f（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{{x}^{2}+1}$ （x＞0）；
f'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（{x}^{2}+1）-2（x-1）•2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$；
=$\frac{{x}^{4}+2{x}^{3}-2{x}^{2}-2x+1}{x（{x}^{2}+1）^{2}}$；
=$\frac{（x-1）（{x}^{3}+3{x}^{2}+x-1）}{x（{x}^{2}+1）^{2}}$≥0；
故当x≥1时，f'（x）≥0；
所以，x∈[1，+∞）时，f（x）恒为增函数；
解：（2）令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，由（1）得g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}+1}$＞g（1）=0；
∴lnt＞$\frac{2（t+1）}{{t}^{2}+1}$ 即$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）^{2}+1}$；
∴lnx₂-lnx₁＞$\frac{2{x}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}$；
（3）由（1）得t＞1时，lnt＞$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}+1}$；
∴$ln\frac{n+1}{n}$＞$\frac{2（\frac{n+1}{n}-1）}{（\frac{n+1}{n}）^{2}+1}$=$\frac{2n}{（n+1）^{2}+{n}^{2}}$＞$\frac{2n}{（n+1）^{2}+（n+1）^{2}}$=$\frac{n}{（n+1）^{2}}$；
∴$ln\frac{2}{1}＞\frac{1}{{2}^{2}}$；
$ln\frac{3}{2}＞\frac{2}{{3}^{2}}$；
…
$ln\frac{n+1}{n}$＞$\frac{n}{（n+1）^{2}}$；
利用累加法后：$ln\frac{2}{1}$+$ln\frac{3}{2}$+…+$ln\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{n}{（n+1）^{2}}$；
得证：ln（n+1）＞$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{4}^{2}}+…+\frac{n}{（n+1）^{2}}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，构造法与累加法以及不等式缩放等知识点综合应用，属中等题．