Question

18．已知函数f（x）=log₃（9^x+1）+mx为偶函数，g（x）=$\frac{{9}^{x}+n}{{3}^{x}}$为奇函数．
（Ⅰ）求m-n的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）与$y={log_3}[g（x）+{3^{-x}}-4]+{log_3}a$的图象有且只有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意和函数奇偶性的性质分别列出方程，求出m和n的值，即可求出m-n的值；
（Ⅱ）由（I）和对数的运算性质化简条件中的函数y，由对数函数的性质求出变量的范围，利用换元法构造函数，由导数与函数的单调性关系，判断出函数的单调性，并求出函数的值域，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log₃（9^x+1）+mx为偶函数，
∴f（-x）=f（x），则log₃（9^-x+1）-mx=log₃（9^x+1）+mx，
即2mx=log₃（9^-x+1）-log₃（9^x+1）
又右边=log₃$\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$-log₃（9^x+1）=log₃9^-x=log₃3^-2x=-2x，
∴2mx=-2x，解得m=-1，
∵g（x）=$\frac{{9}^{x}+n}{{3}^{x}}$为奇函数．
∴g（0）=0，则g（0）=$\frac{1+n}{1}$=0，解得n=-1，
∴m-n=0，即m-n的值0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=log₃（9^x+1）-x，g（x）=$\frac{{9}^{x}-1}{{3}^{x}}$，
则$y={log_3}[g（x）+{3^{-x}}-4]+{log_3}a$=log₃（$\frac{{9}^{x}-1}{{3}^{x}}$+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4）+log₃a
=log₃（3^x-4）+log₃a=log₃（3^x-4）a，
∴y=log₃（3^x-4）a，且（a＞0，3^x＞4）
即f（x）=log₃（9^x+1）-x与y=log₃（3^x-4）a的图象有且只有一个交点，
∴log₃（9^x+1）-x=log₃（3^x-4）a有且仅有一个解，
∵log₃（9^x+1）-x=log₃（9^x+1）-log₃3^x=$lo{g}_{3}^{\frac{{9}^{x}+1}{{3}^{x}}}$，
∴3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$=（3^x-4）a有且仅有一解，
设t=3^x，t＞4，代入上式得，$t+\frac{1}{t}=（t-4）a$，
则a=$\frac{t}{t-4}+\frac{1}{t（t-4）}$=$\frac{{t}^{2}+1}{t（t-4）}$，令y=$\frac{{t}^{2}+1}{t（t-4）}$，
则y′=$\frac{{（t}^{2}+1）′t（t-4）-[t（t-4）]′（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}（t-4）^{2}}$
=$\frac{{2（-2t}^{2}-t+2）}{{t}^{2}{（t-4）}^{2}}$，
∵函数y=-2t²-t+2在（4，+∞）上递减，且y＜0，
∴y′＜0，则函数y=$\frac{{t}^{2}+1}{t（t-4）}$在（4，+∞）上递减，
∴函数y=$\frac{{t}^{2}+1}{t（t-4）}$在（4，+∞）上的值域是（0，+∞），
故实数a的取值范围是a＞0．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，对数的运算性质、对数函数的性质，导数与函数单调性、最值的关系，以及函数图象交点问题的转化，考查换元法、构造法，转化思想，化简、变形能力．