【题目】四边形为某椭圆的内接矩形的充要条件是:它的四个顶点是椭圆的同心圆与它的四个交点.
【答案】见解析
【解析】
充分性:设、、、为椭圆与它的某个同心圆的交点,为椭圆的长轴. 因为过圆心,所以,是圆的对称轴. 于是,整个图形关于对称成轴对称. 故四边形的一组对边与垂直. 同理可证,四边形的另一组对边与椭圆的短轴垂直. 因此,四边形是矩形.
必要性:设四边形是椭圆的内接矩形. 先证明四边形的边与椭圆的对称轴平行.
实际上,作矩形的对称轴交椭圆于点、. 将椭圆沿翻转得到椭圆,则与有6个不同的交点、、、、、. 所以,与重合,即是椭圆的对称轴. 因为矩形的一组对边与平行,所以,四边形的一组对边与椭圆的对称轴平行. 不妨设与椭圆的长轴平行. 由于椭圆关于其短轴对称,所以,. 由充分性的证明可知,以为半径的椭圆的同心圆与椭圆交成一个矩形,此矩形以为一条边. 但过点且与垂直的直线是唯一的,从而,以为一边的椭圆的内接矩形也是唯一的.
故、、、是椭圆的同心圆与椭圆的交点.
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【题目】某学校初中部共120名教师,高中部共180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层抽样方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人数为________.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程为:为参数,在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为:,直线与曲线交于A,B两点,
求曲线的普通方程及的最小值;
若点,求的最大值.
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【题目】如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A. 134 B. 67 C. 200 D. 250
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
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