Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x+1）+1，}&{x≥0}\\{lg（1-x）+1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，若不等式f（ax-1）＞f（x-2）在[3，4]上有解，则实数a的取值范围为a＞$\frac{2}{3}$或a＜0．

Answer 1

分析 由已知，得到x-2∈[1，2]，满足第一段的范围，又不等式有解，由此将不等式转化为f（ax-1）＞1+lg2，进一步讨论ax-1的范围，解对数不等式即可．

解答 解：因为不等式f（ax-1）＞f（x-2）在[3，4]上有解，所以x-2∈[1，2]，
∴f（ax-1）＞[lg（x-1）+1]_min=1+lg2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax-1≥0}\\{lg（ax）+1＞1+lg2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ax-1＜0}\\{lg（2-ax）+1＞1+lg2}\end{array}\right.$，
解得ax＞2或ax＜0，
∴a＞$\frac{2}{3}$或a＜0．

点评 本题考查了分段函数以及对数不等式的解法；关键是将抽象不等式转化为具体的对数不等式．