Question

4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：
（1）（$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{b}$）（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$）≥8；
（2）$\frac{b+c}{a}$+$\frac{c+a}{b}$+$\frac{a+b}{c}$≥6．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可证明不等式．

解答 证明：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴（$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{b}$）（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$）≥2$\sqrt{\frac{bc}{{a}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{ca}{{b}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{ab}{{c}^{2}}}$=8，
当且仅当a=b=c时取等号；
（2）（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥$3\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9，当且仅当a=b=c时取等号，
∴1+$\frac{b+c}{a}$+1+$\frac{c+a}{b}$+1+$\frac{a+b}{c}$≥9，
∴$\frac{b+c}{a}$+$\frac{c+a}{b}$+$\frac{a+b}{c}$≥6．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．