Question

19．用数学归纳法证明$\frac{1}{1•2}+\frac{1}{2•3}+\frac{1}{3•4}+…+\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{n}{n+1}$（n∈N^*）时，由n=k到n=k+1，等式左端应增加的式子为（　　）

• A． $\frac{1}{{k（{k+1}）}}$
• B． $\frac{1}{{k（{k+1}）}}+\frac{1}{{（{k+1}）（{k+2}）}}$
• C． $\frac{1}{{k（{k+2}）}}$
• D． $\frac{1}{{（{k+1}）（{k+2}）}}$

Answer 1

分析 比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．

解答 解：当n=k时，左边=$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$，
那么当n=k+1时，左边=$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
∴由n=k递推到n=k+1时等式左边增加了$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
故选：D．

点评 本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．