Question

3．已知函数f（x）=（x²+a）•e^x在（0，f（0））处的切线与直线y=-8x平行．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，得到f′（0）=-8，解出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=2x•e^x+（x²+a）•e^x=（x²+2x+a）•e^x…（1分）
依题意得f'（0）=-8，
故a=-8…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=（x²+2x-8）•e^x
令f'（x）=0则x²+2x-8=0解得x=-4或x=2…（6分）
列出x，f（x），f'（x）的符号变化表如下：

x	（-∞，-4）	-4	（-4，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

…（8分）
f（x）的单调递增区间：（-∞，-4）和（2，+∞）单调递减区间：（-4，2）…（10分）
$f{（x）_{极大值}}=f（{-4}）=8{e^{-4}}$$f{（x）_{极小值}}=f（2）=-4{e^2}$．…（12分）

点评 本题主要考查导数的定义、导数的几何意义以及曲线的切线等基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力和极限思想．