Question

13．不等式lg（x²+100）≥2^a+siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为（-∞，0]．

Answer 1

分析 问题转化为2^a≤lg（x²+100）-siny，令z=lg（x²+100）-siny，根据对数函数和三角函数的性质求出z的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：不等式lg（x²+100）≥2^a+siny对一切非零实数x，y均成立，
∴2^a≤lg（x²+100）-siny，
令z=lg（x²+100）-siny，则z≥lg100-1=1，
∴2^a≤1，解得：a≤0，
则实数a的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查对数函数和三角函数的性质，是一道中档题．