Question

1．求下列函数的最值：
（1）f（x）=sin2x-x（-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$）；
（2）f（x）=x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得f（x）的极值点和极值，以及端点处的函数值，比较即可得到所求最值；
（2）可设x=cosα（0≤α≤π），可得y=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），由α的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求最值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-x的导数为f′（x）=2cos2x-1，
由cos2x=$\frac{1}{2}$，可得在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的解为±$\frac{π}{6}$，
由f（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{6}$，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$，
f（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$．
可得f（x）的最小值为-$\frac{π}{2}$，最大值为$\frac{π}{2}$；
（2）由1-x²≥0，可得-1≤x≤1，
可设x=cosα（0≤α≤π），
可得y=cosα+$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$
=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由0≤α≤π，可得$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$时，sin（α+$\frac{π}{4}$）取得最大值1；
当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即α=π时，sin（α+$\frac{π}{4}$）取得最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即有函数y的最小值为-1，最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求得极值；运用三角换元法，两角和差公式及正弦函数的图象与性质，考查运算能力，属于中档题．