Question

3．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（　　）

• A． 1000$\sqrt{2}$π
• B． 125$\sqrt{2}$π
• C． $\frac{1000\sqrt{2}π}{3}$
• D． $\frac{125\sqrt{2}π}{3}$

Answer 1

分析 由三视图可知该三棱锥：为棱长为5、4、3的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，得该三棱锥和长方体的外接球相同，利用长方体的体对角线是球的直径求出R，代入球的体积公式计算即可．

解答 解：由三视图可知该三棱锥：
为棱长为5、4、3的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，
∴该三棱锥和长方体的外接球相同，
设该三棱锥的外接球半径为R，
∴2R=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}+{3}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．∴R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴外接球的体积为V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}π}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了几何体的三视图，常见几何体与外接球的关系，根据三视图得出三棱锥与长方体的关系是关键，考查空间想象能力．