Question

【题目】如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得，根据线面垂直得，再根据线面垂直判定定理得平面，即得.最后根据得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.

试题解析：(1)证明：因为底面四边形是菱形，

∴，

又∵平面，

∴，

∵， ∴平面，

∴.

又棱台中，

∴

(2)建立空间直角坐标系如图所示， 则，， ，，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，则,

∴，.

令，得， ∴；

设平面的法向量为，则,

∴，

令，得，， ∴，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.