Question

【题目】在直角坐标系中，椭圆的方程为(为参数)；以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求椭圆的极坐标方程，及圆的直角坐标方程；

（2）若动点在椭圆上，动点在圆上，求的最大值；

（3）若射线分别与椭圆交于点，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1） ，； （2）； （3）见解析.

【解析】

（1）先消去参数得到普通方程，再化为极坐标方程；

（2）利用椭圆参数方程求出椭圆上的点到圆心的最远距离，从而可得；

（3）根据射线垂直的特征，求出交点的极坐标，证明即可.

（1）椭圆化为普通方程为：；

将，代入得的极坐标方程为

又圆的普通方程：，

由，得，，即

（2）由（1）知圆心为，半径为8，则

利用椭圆参数方程，设：

得，

当即时，，则

（3）椭圆极坐标方程：

因为射线，互相垂直，即，

设：，，所以，．

为定值．