Question

5．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\frac{S_4}{S_2}$=10，a₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项和为S_n；
（2）若数列{b_n}的通项公式为$\frac{b_n}{{2{a_n}}}$=n-3，
（ⅰ）求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（ⅱ）探究：数列{b_n}是否有最小项？若没有，请通过计算得到最小项的项数；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意和等比数列的求和公式即可求出公比q和a₁，即可求出相对应的答案．
（2）（i）利用错位相减法即可求出数列的前n项和，
（ii）法一：假设数列{b_n}中第k项最小，则$\left\{{\begin{array}{l}{{b_k}≤{b_{k-1}}}\\{{b_k}≤{b_{k+1}}}\end{array}}\right.$，解得判断即可，
法二：由（ⅰ）知，${b_n}=（2n-6）•{3^{n-1}}$，且3^n-1＞0，根据数列的单调性即可判断．

解答 解：（1）显然数列{a_n}的公比不为1，故$\frac{S_4}{S_2}=\frac{{1-{q^4}}}{{1-{q^2}}}=10$，
解得q=3（q=-3舍去），
所以${a_1}=\frac{a_3}{q^2}=1$，
故${a_n}={3^{n-1}}$，
${S_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$．
（2）（ⅰ）依题意，${b_n}=（2n-6）•{3^{n-1}}$，
${T_n}=（-4）•{3^0}+（-2）•{3^1}+0•{3^2}+…+（2n-6）•{3^{n-1}}$，
$3{T_n}=（-4）•{3^1}+（-2）•{3^2}+0•{3^3}+…+（2n-6）•{3^n}$，
两式相减，$-2{T_n}=-4+2•{3^0}+2•{3^1}+2•{3^2}+…+2•{3^{n-1}}-（2n-6）•{3^n}$，
故$-2{T_n}=（7-2n）•{3^n}-7$，
即${T_n}=\frac{2n-7}{2}•{3^n}+\frac{7}{2}$．
（ⅱ）法一：假设数列{b_n}中第k项最小，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{b_k}≤{b_{k-1}}}\\{{b_k}≤{b_{k+1}}}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{2（k-3）•{3^{k-1}}≤2（k-4）•{3^{k-2}}}\\{2（k-3）•{3^{k-1}}≤2（k-2）•{3^k}}\end{array}}\right.$，
解得$\frac{3}{2}≤k≤\frac{5}{2}$，因为k∈N^*，故k=2，
则数列{b_n}有最小项，最小项是第2项．
法二：由（ⅰ）知，${b_n}=（2n-6）•{3^{n-1}}$，且3^n-1＞0，
则当n＞3时，b_n＞0，
当n=3时，b_n=0，
当0＜n＜3时，b_n＜0，
又b₁=-4，b₂=-6，
所以数列{b_n}有最小项，最小项是第2项．

点评 本题考查等比数列的前n项和公式，考查等比数列的通项公式与数列的函数特性（单调性），考查推理与运算能力，属中档题．