Question

16．已知A（4，0），B（2，2）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最小值是（　　）

• A． 10+2$\sqrt{10}$
• B． 10+$\sqrt{10}$
• C． 10-2$\sqrt{10}$
• D． 10-$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由椭圆的定义可知，MA+MB=10+|MB|-|MF|．当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|-|MF|=-|BF|，在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值．

解答 解：A为椭圆右焦点，左焦点F（-4，0），B在椭圆内，
∴|MA|+|MF|=2a=10，
于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|．
当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，
于是|MB|-|MF|＜|BF|，
而当M在直线BF与椭圆交点上时，
在第一象限交点时，有|MB|-|MF|=-|BF|，
在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|．
显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值，
∴最小值|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10-|BF|=10-$\sqrt{（2+4）^{2}+（2-0）^{2}}$=10-2$\sqrt{10}$，
故答案为：10-2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查椭圆的定义及最值的求法，注意转化思想，以及三点共线求最值的方法，解题时要熟练掌握定义法的运用．