Question

11．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=$\frac{x}{e^x}$的值域为$（0，\frac{1}{e}]$．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到函数在（0，+∞）上的单调性，由此求得函数的值域．

解答 解：由f（x）=$\frac{x}{e^x}$，得f′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
则f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=$\frac{1}{e}$，
又当x→0时f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→0，
∴函数f（x）=$\frac{x}{e^x}$的值域为$（0，\frac{1}{e}]$．
故答案为：$（0，\frac{1}{e}]$．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．