Question

1．已知函数f（x）=cos（x-$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由两角差的余弦公式及半角公式将f（x）化简，求得f（x）的解析式，根据正弦函数图象及性质，即可求得函数f（x）的值域；
（2）由（1）可知，将f（B）=1，代入即可求得B=$\frac{π}{6}$，根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，代入即可求得a的值．

解答 解：（1）f（x）=cos（x-$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$，
=cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$+1-cosx，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+1，
=sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，
由正弦函数性质可知sin（x-$\frac{π}{6}$）的值域为[-1，1]，
函数f（x）的值域[0，2]；
（2）f（B）=1，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=0，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+3-2×a×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得：a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2，
∴a=1或a=2．

点评 本题考查三角函数在恒等变换中的应用，考查余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于中档题．