Question

13．已知圆C与直线y=-x+2$\sqrt{2}$相切，圆心在x轴上，且该圆被直线y=x截得的弦长为4$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的方程；
（2）过点N（-1，0）作斜率为k（k≠0）的直线l与圆C交于A，B两点．若直线OA与OB的斜率之积为-（3+$\sqrt{2}$）k²，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）设出圆心C的坐标为（a，0），半径为r，根据圆C与y=-x+2$\sqrt{2}$相切，被直线y=x截得的弦长为4$\sqrt{2}$，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线y=x的距离d，根据弦长的一半，弦心距d及圆的半径r构成直角三角形，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而得到a与半径的值，写出圆C的方程即可．
（2）直线l的方程为y=k（x+1），联立直线与圆的方程，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求解即可．

解答 解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）²+y²=r²，
此时圆心坐标为（a，0），半径为r，
圆C与直线y=-x+2$\sqrt{2}$相切，∴r=$\frac{|-a+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$…①，
该圆被直线y=x截得的弦长为4$\sqrt{2}$．
∵圆心C到直线y=x的距离d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$，弦长的一半为$2\sqrt{2}$，
∴根据勾股定理得：$\frac{{a}^{2}}{2}$+8=r²，…②，
解①②得a=-$\sqrt{2}$，r=3．
圆C的标准方程为（x+$\sqrt{2}$）²+y²=9．
（2）（2）直线l的方程为y=k（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，
得（k²+1）x²+（2k²+2$\sqrt{2}$）x+k²-7=0，
直线l与圆C交于A，B两点，
△=（2k²+2$\sqrt{2}$）²-4（k²+1）（k²-7）=8$\sqrt{2}$k²+24k²+36＞0恒成立…（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{2}+2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}-7}{{k}^{2}+1}$，
则y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1+$\frac{\frac{-2\sqrt{2}-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}+1}{\frac{{k}^{2}-7}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{-2\sqrt{2}-6}{{k}^{2}-7}$=-（3+$\sqrt{2}$）k²，
故k²=9…（10分）
则x₁x₂═$\frac{1}{5}$，x₁+x₂═$\frac{-9-\sqrt{2}}{5}$，y₁y₂=9×（$\frac{1}{5}$+$\frac{-9-\sqrt{2}}{5}$+1）=-$\frac{27+9\sqrt{2}}{5}$，
故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{26+9\sqrt{2}}{5}$．…（12分）

点评 （1）考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．（2）考查圆的方程的求法，考查向量的数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式的合理运用．