Question

3．已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0
（1）求证：函数f（x）在x=1处的切线经过原点；
（2）如果f（x）的极小值为1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到切线的斜率，从而求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值，结合题意求出a的值，从而求出f（x）的解析式．

解答 解：（1）由已知f'（x）=e^x-a，则f'（1）=e-a，
即函数f（x）在x=1处的切线斜率为e-a，
而f（1）=e-a，因而切线方程为 y-（e-a）=（e-a）（x-1），
即y=（e-a）x，因而经过原点；
（2）由f'（x）=e^x-a=0，得x=lna，
当x∈（-∞，lna）时f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（lna，+∞）时f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的极小值为f（lna）=a-alna，
由已知a-alna=1，显然有解a=1，
设g（a）=a-alna-1，则g'（a）=1-lna-1=-lna=0，则a=1，
因而a∈（0，1）时g'（a）＞0，g（a）单调递增，
a∈（1，+∞）时g'（a）＜0，g（a）单调递减，
∴g（a）极大值为g（1）=0，因而方程a-alna=1有且只有一解a=1，
∴f（x）=e^x-x．

点评 本题考查了切线方程问题，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．