Question

12．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）对?a∈（-3，-2），若存在x₁，x₂∈[1，2]，使不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞（m-2+ln2）a-2ln2恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=0时，可求出f（x），进而得出$f′（x）=\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，根据导数符号便可得出f（x）的极小值点，并求得该极小值，并判断无极大值；
（Ⅱ）求导数得到$f′（x）=\frac{2a（x+\frac{1}{a}）（x-\frac{1}{2}）}{{x}^{2}}$，根据a的范围，及x∈[1，2]便可判断f′（x）＜0在[1，2]上成立，即f（x）在区间[1，2]上单调递减，从而|f（x₁）-f（x₂）|在x₁，x₂∈[1，2]上的最大值为f（1）-f（2）=$（a-2）ln2+\frac{1}{2}-2a$，根据条件即可整理得到$ma＜\frac{1}{2}$，从而得到$m＞\frac{1}{2a}$，可求出$\frac{1}{2a}$的范围，从而求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）a=0时，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$；
令f'（x）=0，$x=\frac{1}{2}$；
∴$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f'（x）＜0，当$x＞\frac{1}{2}$时，f'（x）＞0；
∴$x=\frac{1}{2}$时，f（x）取得极小值2-2ln2，无极大值；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{（ax+1）（2x-1）}{x^2}=\frac{{2a（x+\frac{1}{a}）（x-\frac{1}{2}）}}{x^2}$；
∵a∈（-3，-2），$-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜-\frac{1}{3}$；
∴x∈[1，2]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
∴$|f（{x_1}）-f（{x_2}）{|_{max}}=f（1）-f（2）=（a-2）ln2+\frac{1}{2}-2a$；
因为存在x₁，x₂∈[1，2]，使不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞（m-2+ln2）a-2ln2成立；
∴$（a-2）ln2+\frac{1}{2}-2a＞（m-2+ln2）a-2ln2$
化简得$ma＜\frac{1}{2}$，又-3＜a＜-2
∴$m＞\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}∈（-\frac{1}{4}，-\frac{1}{6}）$；
∴$m≥-\frac{1}{6}$；
∴m的取值范围为$[-\frac{1}{6}，+∞）$．

点评 考查基本初等函数的求导公式，函数极值的定义及求法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及单调性定义的运用，恒成立问题的解决方法，不等式的性质．