Question

20．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①点P在直线BC₁上运动，三棱锥A-D₁PC的体积不变
②点P在直线BC₁上运动，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变
③点P在直线BC₁上运动，二面角P-AD₁-C的大小不变
④点P是平面ABCD上到点D和C₁距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．
其中的真命题是（　　）

• A． ①③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①由正方体的性质可得：BC₁∥AD₁，于是BC₁∥平面AD₁C，可得直线BC₁上的点到平面AD₁C的距离不变，而△AD₁C的面积不变，即可判断出结论．
②由①可知：直线BC₁上的点到平面AD₁C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD₁所成角的大小改变，即可判断出正误．
③由①可知：点P到平面AD₁C的距离不变，点P到AD₁的距离不变，即可判断出二面角P-AD₁-C的大小是否改变．
④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC₁|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．

解答 解：①由正方体的性质可得：BC₁∥AD₁，于是BC₁∥平面AD₁C，因此直线BC₁上的点到平面AD₁C的距离不变，点P在直线BC₁上运动，又△AD₁C的面积不变，因此三棱锥A-D₁PC的体积=$\frac{1}{3}{d}_{P}•{S}_{△A{D}_{1}C}$不变．
②点P在直线BC₁上运动，由①可知：直线BC₁上的点到平面AD₁C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD₁所成角的大小改变，故不正确．
③点P在直线BC₁上运动，由①可知：点P到平面AD₁C的距离不变，点P到AD₁的距离不变，可得二面角P-AD₁-C的大小不变，
正确；
④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C₁（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC₁|，则$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（y-a）^{2}+{a}^{2}}$，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．
其中的真命题是①③④．
故选：B．

点评 本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．